Question

17．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1和圆C₂：x²+y²=4，A，B，F分别为椭圆C₁左顶点、右顶点和左焦点．
（1）点P是曲线C₂上位于第一象限的一点，若△OPF的面积为$\frac{3}{2}$，求∠OPB；
（2）点M和N分别是椭圆C₁和圆C₂上位于x轴上方的动点，且直线AN的斜率是直线AM斜率的2倍，证明直线MN⊥x轴．

Answer 1

分析 （1）由已知椭圆方程求出F的坐标，设出P的坐标，再由三角形面积求出P的坐标，可得△BOP为等边三角形，则答案可求；
（2）设直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为2k，又两直线都过点A（-1，0），可得直线AM的方程为y=kx+k，直线AN的方程为y=2kx+2k，分别联立直线方程与椭圆、圆的方程，求出M、N的横坐标得答案．

解答 （1）解：由椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得F（-$\sqrt{3}$，0），
设P（x_P，y_P）（x_P＞0，y_P＞0），
∵${S}_{△OPF}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}{y}_{P}=\frac{3}{2}$，∴${y}_{P}=\sqrt{3}$，
则${{x}_{P}}^{2}=4-（{y}_{P}）^{2}=4-3=1$，∴x_P=1．
则∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，则∠OPB=60°；
（2）证明：设直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为2k，又两直线都过点A（-1，0），
∴直线AM的方程为y=kx+k，直线AN的方程为y=2kx+2k，
将y=kx+k代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，消元可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
由${x}_{M}-1=\frac{-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{M}=\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$；
将y=2kx+2k代入x²+y²=4，消元可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
由${x}_{N}-1=\frac{-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{N}=\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∵x_M=x_N，∴直线MN⊥x轴．

点评 本题考查椭圆与圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定两点的横坐标是关键，是中档题．