Question

8．在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为（　　）

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{9}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{18}$

Answer 1

分析 先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．

解答 解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：设边长为2，
其中正三角形ABC的面积S_三角形=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4=$\sqrt{3}$．
满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，
则S_阴影=$\frac{1}{2}$π，
则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1-$\frac{\sqrt{3}π}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．