Question

3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|=10，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为25．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式y²=2px（p＞0），写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．

解答 解：由于抛物线的解析式为y²=2px（p＞0），
则焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），对称轴为x轴，准线为x=-$\frac{p}{2}$，
∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，
又∵AB⊥x轴
∴|AB|=2p=10
∴p=5
又∵点P在准线上
∴DP=$\frac{p}{2}$+|-$\frac{p}{2}$|=p=5
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$DP•AB=$\frac{1}{2}$×5×10=25
故答案为25．

点评 本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．