Question

13．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜a）的半焦距为c，直线l经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点．已知原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，则双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 写出直线方程，利用点到直线的距离公式列出方程，求解双曲线的离心率即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜a）的半焦距为c，直线l经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点．
可得直线方程为：bx+ay=ab．
原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$c，
可得：$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}c$，
化简可得16a²（c²-a²）=3c⁴，
即：16e²-16=3e⁴，e＞1
解得e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．