Question

19．已知sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），则sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知求出cosθ，进一步得到sin2θ与cos2θ的值，展开两角差的正弦得答案．

解答 解：∵sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$sin2θcos\frac{π}{4}-cos2θsin\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sin2θ-cos2θ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2sinθcosθ-1+2si{n}^{2}θ）$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2×\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}-1+2×\frac{1}{5}）$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础的计算题．