Question

12．已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为2的球面上，且三棱锥O-ABC的高为1，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值为$\frac{9π}{4}$．

Answer 1

分析 设正△ABC的中心为O₁，连结O₁O、O₁C、O₁D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．

解答 解：设正△ABC的中心为O₁，连结O₁O、O₁C、O₁D、OD，
∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，结合O₁C?平面ABC，可得O₁O⊥O₁C，
∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O₁O=1，
∴Rt△O₁OC中，O₁C=$\sqrt{3}$．
又∵D为BC的中点，∴Rt△O₁DC中，O₁D=$\frac{1}{2}$O₁C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴Rt△OO₁D中，OD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r=$\frac{3}{2}$，可得截面面积为S=πr²=$\frac{9π}{4}$．
故答案为：$\frac{9π}{4}$．

点评 本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．