Question

7．已知函数f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．$g（x）=-{x^3}+\frac{5}{2}{x^2}-4x+\frac{3}{2}$
（1）当a=1时，求证：?x₁，x₂∈（1，+∞），均有f（x₁）≥g（x₂）
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=1时，$f'（x）=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，f（x）_min=f（1）=0，g（x）_max=g（1）＜0，由此能证明当a=1时，?x₁，x₂∈（1，+∞），均有f（x₁）≥g（x₂）．
（2）由x∈[1，+∞）知，x+ln x＞0，f（x）≥0恒成立等价于a≤$\frac{x2}{x+lnx}$在x∈[1，+∞）时恒成立，令h（x）=$\frac{x2}{x+lnx}$，x∈[1，+∞），由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 证明：（1）a=1时，f（x）=x²-x-ln x，
$f'（x）=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
f（x）在（1，+∞）上是增函数，f（x）_min=f（1）=0，
g'（x）=-3x²+5x-4＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数，g（x）_max=g（1）＜0
∴当a=1时，?x₁，x₂∈（1，+∞），均有f（x₁）≥g（x₂）…（5分）
解：（2）由x∈[1，+∞）知，x+ln x＞0，…（6分）
∴f（x）≥0恒成立等价于a≤$\frac{x2}{x+lnx}$在x∈[1，+∞）时恒成立，…（7分）
令h（x）=$\frac{x2}{x+lnx}$，x∈[1，+∞），
有h′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）2}$＞0，…（8分）
x∈[1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴x∈[1，+∞）h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．
∴a的取值范围是（-∞，1]．…（12分）

点评 本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．