Question

1．已知向量$\vec a=（{sinθ，-2}）$，$\vec b=（{1，cosθ}）$互相垂直，其中$θ∈（0，\frac{π}{2}）$；
（1）求tan2θ的值；
（2）若$sin（{θ-φ}）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}，0＜φ＜\frac{π}{2}$，求cosφ的值．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（sinθ，-2）•（1，cosθ）=sinθ-2cosθ=0，tanθ=2，由正切函数的二倍角公式即可求得tan2θ的值；
（2）由$-\frac{π}{2}＜θ-φ＜\frac{π}{2}$，cos（θ-φ）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（θ-φ）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，由cosφ=cos[θ-（θ-φ）]，根据两角差的余弦公式即可求得cosφ的值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（sinθ，-2）•（1，cosθ）=sinθ-2cosθ=0，
∴tanθ=2，
∴$tan2θ=\frac{2tanθ}{{1-{{tan}^2}θ}}=-\frac{4}{3}$…．（6分）
（2）∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
$-\frac{π}{2}＜θ-φ＜\frac{π}{2}$，
∴cos（θ-φ）＞0，cos（θ-φ）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（θ-φ）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ），
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$•$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查向量数量积的坐标表示，考查向量垂直的充要条件，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．