Question

7．经市场调查，某商品在最近90天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}t+10，1≤t≤40，t∈{N}^{+}}\\{t-20，40＜t≤90，t∈{N}^{+}}\end{array}\right.$，价格近似地满足g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-10t+630，1≤t≤40，t∈{N}^{+}}\\{-\frac{1}{10}{t}^{2}+10t-10，40＜t≤90，t∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．
（1）写出该商品的日销售额S（销售量与价格之积）与时间t的函数关系；
（2）求该商品的日销售额S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式，此关系式为分段函数；
（2）根据分段函数的最大值分段求解的原则，求出分段函数的最大值即可．

解答 解：（1）根据题意，得S=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{4}t+10）（-10t+630），1≤t≤40，t∈{N}_{+}}\\{（t-20）（-\frac{1}{10}{t}^{2}+10t-10）.40＜t≤90，t∈{N}_{+}}\end{array}\right.$…（5分）
（2）①当1≤t≤40，t∈N时，S=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{23}{2}$）²+$\frac{53045}{8}$，
所以当t=11或12时，S的最大值为$\frac{53045}{8}$；    …（7分）
②当40＜t≤90，t∈N时，S=-$\frac{1}{10}{t}^{3}+12{t}^{2}-210t+200$，
S′=-$\frac{3}{10}$（t-10（（t-70）
所以10＜t＜70，S′＞0，70＜t＜90，S′＜0
所以当t=70时，S的最大值为2000．
因为$\frac{53045}{8}$＞2000，
所以当t=11或12时，日销售额S有最大值$\frac{53045}{8}$．    …（10分）

点评 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力．