Question

4．已知抛物线y²=2px（p＞0）上有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）当抛物线的准线方程为$x=-\frac{1}{4}$时，作正方形ABCD使得边CD直线方程为y=x+4，求正方形的边长；
（2）抛物线上一定点Px₀，y_0）（y₀＞0），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

分析 （1）将直线方程与抛物线方程联立方程，结合韦达定理得到弦长CD的值，由AB与CD的距离求得正方形的边长，从而得到关于参数b的方程，进而通过b值得到边长；
（2）由PA与PB的倾斜角互补时可知斜率互为相反数，结合已知条件中点的坐标得到两直线的斜率表达式，从而得到关于P，A，B点坐标的关系式，将其整理变形可求得直线AB的斜率．

解答 解：（1）设CD的方程为y=x+b，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+b\\{y^2}=x\end{array}\right.$消去x得y²-y+b=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=1，y₁y₂=b，
∴|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$$\sqrt{{{（{y_1}+{y_1}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\sqrt{2-8b}$，
又AB与CD的距离d=$\frac{{|{4-b}|}}{{\sqrt{2}}}$，
由ABCD为正方形有$\sqrt{2-8b}$=$\frac{{|{4-b}|}}{{\sqrt{2}}}$，
解得b=-2或b=-6；
∴正方形的边长为3$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$；
（2）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀，相减得：
（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀），
故k_PA=$\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{2p}{{{y_1}+{y_0}}}$（x₁≠x₀）；
同理可得k_PB=$\frac{2p}{{{y_1}+{y_0}}}$（x₂≠x₀）；
由PA、PB倾斜率角互补知k_PA=-k_PB，
即$\frac{2p}{{{y_1}+{y_0}}}$=-$\frac{2p}{{{y_2}+{y_0}}}$；
∴y₁+y₂=-2y₀，故$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{y_0}$=-2；
设直线AB的斜率为k_AB，由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁，
相减得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁），
∴k_AB=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$\frac{2p}{{{y_2}+{y_1}}}$（x₁≠x₂）；
将y₁+y₂=-2，（y₀＞0）代入得：
k_AB=$\frac{2p}{{{y_1}+{y_2}}}$=-$\frac{p}{y_0}$，
所以k_AB是非零常数．

点评 本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了韦达定理求弦长CD以及直线倾斜角与斜率的应用问题，是综合性题目．