Question

17．设实数a，b均为区间[0，1]内的随机数，则关于x的不等式$b{x^2}+ax+\frac{1}{4}＜0$有实数解的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由关于x的不等式bx²+ax+$\frac{1}{4}$＜0有实数解可化为△=a²-b＞0；
从而可得关于x的不等式bx²+ax+$\frac{1}{4}$＜0有实数解的概率为图中阴影部分与正方形的面积比，得出结果．

解答 解：由题意，若b=0，a≠0时，不等式bx²+ax+$\frac{1}{4}$＜0有实数解；
若b≠0，则△=a²-b＞0；
作出平面区域如下，

关于x的不等式bx²+ax+$\frac{1}{4}$＜0有实数解的概率为图中阴影部分与正方形的面积比，
S_阴=${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$•x³${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$；
故$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{正方形}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{1×1}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了几何概型的概率求法以及作图能力和积分的运算问题，是综合性题目．