Question

2．计算（1）已知$0＜x＜\frac{π}{2}$，化简：$lg（cosxtanx+1-2{sin^2}\frac{x}{2}）+lg[\sqrt{2}cos（x-\frac{π}{4}）]-lg（1+sin2x）$；
（2）已知0＜x＜1，且x+x^-1=3，求${x^{\frac{1}{2}}}-{x^{-\frac{1}{2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式及两角差的正弦公式将原式转化成lg（sinx+cosx）+lg（sinx+cosx）-lg（1+2sin2x），利用对数函数的运算性质及同角三角函数的基本关系，即可求得答案．
（2）（${x^{\frac{1}{2}}}-{x^{-\frac{1}{2}}}$）²=x+x^-1-2=3-2=1，由0＜x＜1，${x^{\frac{1}{2}}}-{x^{-\frac{1}{2}}}$＜0，即可求得${x^{\frac{1}{2}}}-{x^{-\frac{1}{2}}}$的值．

解答 解：（1）$lg（cosxtanx+1-2{sin^2}\frac{x}{2}）+lg[\sqrt{2}cos（x-\frac{π}{4}）]-lg（1+sin2x）$，
=lg（cosx•$\frac{sinx}{cocx}$+1-2sin²$\frac{x}{2}$）+lg（$\sqrt{2}$cosxcos$\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}$sinxsin$\frac{π}{4}$）-lg（1+2sin2x），
=lg（sinx+cosx）+lg（sinx+cosx）-lg（1+2sin2x），
=lg（sinx+cosx）²-lg（1+2sin2x），
=lg（1+2sin2x）-lg（1+2sin2x），
=0，
（2）由x+x^-1=3，
（${x^{\frac{1}{2}}}-{x^{-\frac{1}{2}}}$）²=x+x^-1-2=3-2=1，
由0＜x＜1，
∴${x^{\frac{1}{2}}}-{x^{-\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{x-1}{\sqrt{x}}$＜0，
∴${x^{\frac{1}{2}}}-{x^{-\frac{1}{2}}}$=-1

点评 本题考查三角恒等变换公式的应用，考查分数指数幂的运算法则，考查转化思想，属于中档题．