Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，点M是棱PC上的一点，且AM⊥PB．

（1）求三棱锥C﹣PBD的体积；

（2）证明：AM⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】（1） （2）证明见解析

【解析】

(1)利用换顶点的方法VC﹣PBD＝VP﹣BCD求解即可.

(2)先证明面进而得出AM⊥平面PBD即可.

（1）PA⊥底面ABCD,PA＝1,即三棱锥P﹣BCD的高为PA＝1,,

所以,三棱锥C﹣PBD的体积VC﹣PBD＝VP﹣BCD,

APS△BCD

（2）由于PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,

设AC,BD的交点为O,

由正方形知,BD⊥AC,

所以,BD⊥平面PAC,

从而,BD⊥AM

又AM⊥PB,所以AM⊥平面PBD