题目内容
【题目】在平面立角坐标系中,过点
的圆的圆心
在
轴上,且与过原点倾斜角为
的直线
相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)点在直线
上,过点
作圆
的切线
、
,切点分别为
、
,求经过
、
、
、
四点的圆所过的定点的坐标.
【答案】(1)(2)经过
、
、
、
四点的圆所过定点的坐标为
、
【解析】
(1)先算出直线方程,根据相切和过点,圆心
在
轴上联立方程解得答案.
(2) 取线段的中点
,经过
、
、
、
四点的圆是以线段
为直径的圆,设点
的坐标为
,则点
的坐标为
,将圆方程表示出来,联立方程组解得答案.
(1)由题意知,直线的方程为
,整理为一般方程可得
由圆的圆心在
轴上,可设圆
的方程为
,
由题意有,解得:
,
,
故圆的标准方程为
.
(2)由圆的几何性质知,,
,取线段
的中点
,由直角三角形的性质可知
,故经过
、
、
、
四点的圆是以线段
为直径的圆,
设点的坐标为
,则点
的坐标为
有
则以为直径的圆的方程为:
,整理为
可得.
令,解得
或
,
故经过、
、
、
四点的圆所过定点的坐标为
、
.
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