题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点,点
在
轴上,过点
的直线交椭圆
交于
,
两点.
①若直线的斜率为
,且
,求点
的坐标;
②设直线,
,
的斜率分别为
,
,
,是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出
点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)①
②存在,
;
【解析】
(1)根据椭圆离心率及过点,建立方程组,求解即可(2)①设直线
的方程为:
,联立椭圆方程,利用弦长公式即可求出m,得到点
的坐标②直线
分斜率为0与不为0两种情况讨论,斜率为0时易得存在
,斜率不为0时,联立直线与椭圆方程,利用
恒成立,可化简知存在定点
.
(1)∵椭圆:
的离心率为
,且过点
.
∴,
,
∴椭圆的方程为:
.
(2)设,
,
①设直线的方程为:
.
.
.
,
.
,解得
.
∴.
②当直线的斜率为0时,
,
,
.
由可得
,解得
,即
.
当直线的斜率不为0时,设直线
的方程为
.
由.
,
.
由可得
,
,
.
.
,
∴当时,上式恒成立,
存在定点,使得
恒成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数
之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间( | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数( | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求
与实际等候人数
的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)若选取的是后面4组数据,求关于
的线性回归方程
;
(2)判断(1)中的方程是否是“恰当回归方程”;
(3)为了使等候的乘客不超过35人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟?
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.