题目内容
【题目】给定数列,若满足
且
,对于任意的n,
,都有
,则称数列
为“指数型数列”.
Ⅰ
已知数列
,
的通项公式分别为
,
,试判断
,
是不是“指数型数列”;
Ⅱ
若数列
满足:
,
,判断数列
是否为“指数型数列”,若是给出证明,若不是说明理由;
Ⅲ
若数列
是“指数型数列”,且
,证明:数列
中任意三项都不能构成等差数列.
【答案】(Ⅰ)不是指数型数列,
是指数型数列;(Ⅱ)数列
是“指数型数列”;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
Ⅰ
利用指数型数列的定义,判断即可;
Ⅱ
利用
,
,说明数列
是等比数列,然后证明数列
为“指数型数列”;
Ⅲ
利用反证法,结合n为偶数以及奇数进行证明即可.
Ⅰ
解:对于数列
,
,
所以不是指数型数列.
对于数列,对任意n,
,因为
,
所以是指数型数列.
Ⅱ
证明:由题意,
是“指数型数列”,
,
,
所以数列是等比数列,
,
,数列
是“指数型数列”.
Ⅲ
证明:因为数列
是指数型数列,故对于任意的n,
,
有,
,
假设数列中存在三项
,
,
构成等差数列,不妨设
,
则由,得
,
所以,
当a为偶数时,是偶数,而
是偶数,
是奇数,
故不能成立;
当a为奇数时,是偶数,而
是奇数,
是偶数,
故也不能成立.
所以,对任意,
不能成立,
即数列的任意三项都不成构成等差数列.
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【题目】在某区“创文明城区”简称“创城”
活动中,教委对本区A,B,C,D四所高中校按各校人数分层抽样调查,将调查情况进行整理后制成如表:
学校 | A | B | C | D |
抽查人数 | 50 | 15 | 10 | 25 |
“创城”活动中参与的人数 | 40 | 10 | 9 | 15 |
注:参与率是指:一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.
Ⅰ
若该区共2000名高中学生,估计A学校参与“创城”活动的人数;
Ⅱ
在随机抽查的100名高中学生中,从A,C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生,求恰有1人参与“创城”活动的概率;
Ⅲ
若将表中的参与率视为概率,从A学校高中学生中随机抽取3人,求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.