Question

已知椭圆C： (a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点?
(3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。   

Answer 1

(1)+=1
(2) -4＜x₀＜
(3)当x₀=-时，DE的最大值为

本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及结合圆的知识，求解圆与坐标轴的交点问题，以及直线与圆的位置关系的运用。
解：(1)∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)，

∴椭圆C的方程为+=1。………       5分
(2)易求得F(1，0)。设M(x₀，y₀)，则+=1，      
圆M的方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=(1-x₀)²+y₀²，
令x=0，化简得y²-2y₀y+2x₀-1=0，⊿=4y₀²-4(2x₀-1)²＞0……①。
将y₀²=3(1-)代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出 -4＜x₀＜..........10分
(3)设D(0，y₁)，E(0，y₂)，其中y₁＜y₂。由(2)，得
DE= y₂- y₁===，
当x₀=-时，DE的最大值为