Question

u，v是实数，则

(u-v)2+( 1-u2 -2v-5)2

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算

专题：直线与圆

分析：从数式的形与构来看与两点间的距离公式的平方同构，可视为两点间的距离的平方即可找到解题入口．

解答： 解：

(u-v)2+( 1-u2 -2v-5)2

可视为点P（u，

1-u2

）与点Q（v，2v+5 ）之间的距离，P的轨迹为上半圆x²+y²=1（y≥0），Q的轨迹为曲线C：y=2x+5，
圆心（0，0）到直线y=2x+5的距离为

5

22+1

=

5

，圆的半径为1，
所以

(u-v)2+( 1-u2 -2v-5)2

的最小值是

5

-1．

点评：本题考查了数式的最值问题，通常可通过对其结构与形式特征进行观察，类比，联想与已知的定理、定义、性质等形式类似，实现转化，构建解题思路，属于中档题．