Question

如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象过最高点M（

π

6

，3）及点N（

7π

24

，0）．
（1）求φ的值，并求f（

π

3

）的值；
（2）若将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的单调曾区间．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=

π

6

时取得最大值3，求出φ，得到函数的解析式，即可．
（Ⅱ）利用平移变换得到g（x）得解析式，然后利用x得范围，结合正弦函数得单调性得到g（x）得单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）由图象得A=3，T=4（

7π

24

-

π

6

）=

π

2

，所以ω=

2π

T

=4，
所以f（x）=3sin（4x+φ），由f（

π

6

）=3，得3sin（4×

π

6

+φ）=3，|φ|＜

π

2

，所以φ=-

π

6

；
（Ⅱ）将y=f（x）得图象上各点得横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），
得到函数y=3sin（2x-

π

6

）的图象，再将得到的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=3sin[2（x+

π

6

）-

π

6

]的图象，即y=g（x）的图象，
所以g（x）=3sin（2x+

π

6

），由x∈[-

π

2

，

π

2

]，
所以2x+

π

6

∈[-

5π

6

，

7π

6

]，
令-

π

2

≤2x+

π

6

≤

π

2

，得到-

π

3

≤x≤

π

6

，
所以函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的单调增区间为[-

π

3

，

π

6

]．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查学生得识图能力和计算能力，是常考题型．