Question

已知在等比数列{a_n}中，2a₂=a₁+a₃-1，a₁=1，数列{b_n}满足b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n=2^n-1，从而b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=2^n-2，由此得到

bn

n

=2^n-1，从而b_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）由b_n=n•2^n-1，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}中，2a₂=a₁+a₃-1，a₁=1，
∴2a₂=a₃，∴q=

a3

a2

=2，
∴a_n=2^n-1，
∴b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n=2^n-1，①
b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=2^n-2，②
①-②，得：

bn

n

=2^n-1，
∴b_n=n•2^n-1．
（Ⅱ）∵b_n=n•2^n-1，
∴S_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，③
2S_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，④
④-③，得：
S_n=-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）+n•2ⁿ
=-

1-2n

1-2

+n•2ⁿ
=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．