Question

如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，沿AD把△ABC的两部分折成直二面角（如图2），DF⊥AC于F．
（Ⅰ）证明：BF⊥AC；
（Ⅱ）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE∥平面PBF？若存在，求

DP

PC

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由AD⊥DB，AD⊥DC，得∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，从而BD⊥平面ADC，又AC⊥平面BDF，由此能证明BF⊥AC．
（Ⅱ）连结CE交BF于点M，连结PM，则PM∥DE，由此推导出在线段DC上存在一点P，使得DE∥平面PBF，此时

DP

PC

=

1

2

．

解答： （Ⅰ）证明：∵AD⊥DB，AD⊥DC，
∴∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，
又∵二面角B-AD-C是直二面角，∴BD⊥DC，
∴BD⊥平面ADC，∴BD⊥AC，
又DF⊥AC，∴AC⊥平面BDF，
∴BF⊥AC．
（Ⅱ）解：连结CE交BF于点M，连结PM，则PM∥DE，
∵AB=AC，∴AD=DC，∴F为AC的中点，
∵E为AB的中点，∴M为△ABC的重心，
∴

EM

MC

=

1

2

，∴

DP

PC

=

1

2

，
即在线段DC上存在一点P，使得DE∥平面PBF，
此时

DP

PC

=

1

2

．

点评：本题考查两条异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的判断与求法，解题时要注意空间思维能力的培养．