题目内容
12．（1）若不等式$sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{a}＞0$对$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$的所有实数x都成立，求a的取值范围；（2）若不等式x2-2ax+2a+1＞0对0≤x≤1的所有实数x都成立，求a的取值范围；
（3）设a＞0且a≠1，f（x）=x2-ax，对x∈（-1，1），均有$f（x）＜\frac{1}{2}$，求a的范围．
（4）完成填空
| 用图象语言表述 | 用函数最值表述 | |
| 在（a，b）内，若对任意的x有f（x）＞g（x）成立 | ① | ② |
| 在（a，b）内，若存在x0，使f（x）＞g（x）成立 | ③ | ④ |
分析 （1）由$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，可得$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，于是$sin（2x+\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，因此$\frac{1}{a}$＜$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，解出即可得出．
（2）不等式x2-2ax+2a+1＞0化为a（2-2x）+x2+1＞0，由于对0≤x≤1的所有实数x都成立，利用一次函数的单调性即可得出．
（3）不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$，化为u（x）=x2-$\frac{1}{2}$＜ax．画出图象，即可得出．
（4）分别画出函数f（x）与g（x）的图象，即可得出．
解答 
解：（1）∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，∴$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
∴$\frac{1}{a}$＜$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a＜0．
∴a的取值范围是$（-\frac{2\sqrt{3}}{3}，0）$．
（2）不等式x2-2ax+2a+1＞0化为a（2-2x）+x2+1＞0，
∵对0≤x≤1的所有实数x都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+1＞0}\\{2＞0}\end{array}\right.$，解得$a＞-\frac{1}{2}$．
（3）不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$，化为u（x）=x2-$\frac{1}{2}$＜ax．画出图象：当1＜a时，可得：（-1）2-$\frac{1}{2}$＜a-1，解得1＜a＜2；同理可得：当0＜a＜1时，${1}^{2}-\frac{1}{2}$＜a1，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
综上可得a的取值范围是：$（\frac{1}{2}，1）$∪（1，2）．
（4）①如图所示，在区间（a，b）内，函数y=f（x）的图象在函数y=g（x）的图象的上方；
②函数[f（x）-g（x）]min＞0．
③如图所示，存在x0∈（a，b），使得函数y=f（x）的图象在x=x0的点在函数y=g（x）的图象中x=x0点的上方；
④存在x0∈（a，b），f（x0）-g（x0）＞0．
点评 本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
应用题作业本系列答案| A． | {（1，0）} | B． | {（-1，1）} | C． | {（2，0）} | D． | {（2，1）} |
| A． | （-1，+∞） | B． | （1，+∞） | C． | （0，+∞） | D． | （-∞，0） |
