题目内容
4．（1）若抛物线的焦点在y轴上，点 A（m，-2）在抛物线上，且|AF|=3，求抛物线的标准方程及△O AF的面积．（2）以椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的长轴短点为焦点，且经过（3，$\sqrt{10}$）的双曲线的标准方程．
分析 （1）先假设抛物线的方程，利用点 A（m，-2）在抛物线上，且|AF|=3，建立方程，即可求得m的值，即可求抛物线的标准方程及△OAF的面积．
（2）双曲线的焦点坐标为（±2$\sqrt{2}$，0），利用双曲线经过（3，$\sqrt{10}$），可得2a=|$\sqrt{（3+2\sqrt{2}）^{2}+10}$-$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）^{2}+10}$|=2$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．
解答 解：（1）依题意，设抛物线方程为x2=-2py （p＞0）
∵点 A（m，-2）在抛物线上，且|AF|=3，
∴$\frac{p}{2}$+2=3，∴p=2，
∴抛物线方程为x2=-4y．
A（m，-2）代入可得m=±2$\sqrt{2}$，
∴△OAF的面积S=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
（2）由题意，双曲线的焦点坐标为（±2$\sqrt{2}$，0），
∵双曲线经过（3，$\sqrt{10}$），
∴2a=|$\sqrt{（3+2\sqrt{2}）^{2}+10}$-$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）^{2}+10}$|=2$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{5}$，
∴双曲线的标准方程$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
点评 本题考查的重点是抛物线、双曲线的标准方程，解题的关键是利用抛物线、双曲线的定义合理转化，属于中档题．
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金牌教辅培优优选卷期末冲刺100分系列答案
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（3）设a＞0且a≠1，f（x）=x2-ax，对x∈（-1，1），均有$f（x）＜\frac{1}{2}$，求a的范围．
（4）完成填空
（2）若不等式x2-2ax+2a+1＞0对0≤x≤1的所有实数x都成立，求a的取值范围；
（3）设a＞0且a≠1，f（x）=x2-ax，对x∈（-1，1），均有$f（x）＜\frac{1}{2}$，求a的范围．
（4）完成填空
| 用图象语言表述 | 用函数最值表述 | |
| 在（a，b）内，若对任意的x有f（x）＞g（x）成立 | ① | ② |
| 在（a，b）内，若存在x0，使f（x）＞g（x）成立 | ③ | ④ |