Question

17．设a为实常数，试求函数f（x）=|sinx（a+cosx）|（x∈R）的最大值．

Answer 1

分析 由条件利用柯西本不等式、正弦函数的值域，求得函数f（x）的最大值．

解答 解：利用柯西不等式可得，函数f（x）=|sinx•（a+cosx）|=|asinx+sinxcosx|
≤$\sqrt{{a}^{2}{+sin}^{2}x}$•$\sqrt{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\sqrt{{a}^{2}{+sin}^{2}x}$，当且仅当$\frac{a}{sinx}=\frac{sinx}{cosx}$时，取等号．
又$\sqrt{{a}^{2}{+sin}^{2}x}$≤$\sqrt{1{+a}^{2}}$，当且仅当sinx=±1，取等号．
综上可得，当且仅当sinx=±1，cox=0时，两个等号能同时取到，
即f（x）的最大值为$\sqrt{{1+a}^{2}}$．

点评 本题主要考查柯西不等式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．