题目内容
在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α内任意一条直线m∥平面β，则α∥β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面β内的直线n⊥直线m，则n⊥α；
④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是三角形的外心；
⑤若平面β内的直线m垂直于平面α，那么β⊥α；
其中正确的命题为 （填上所有正确命题的序号）
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α内任意一条直线m∥平面β，则α∥β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面β内的直线n⊥直线m，则n⊥α；
④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是三角形的外心；
⑤若平面β内的直线m垂直于平面α，那么β⊥α；
其中正确的命题为
考点：命题的真假判断与应用
专题：空间位置关系与距离
分析：对于①，取两个平面α，β，且使α⊥β，在α内取两条平行直线a，b，由a，b在β内的射影可判断此命题的真假；
对于②，在平面α内取两条相交直线即可判断此命题的真假；
对于③，根据面面垂直的性质定理可判断此命题的真假；
对于④，根据射影长性质及三角形外心的定义可判断此命题的真假；
对于⑤，根据线面垂直的性质定理可判断此命题的真假．
对于②，在平面α内取两条相交直线即可判断此命题的真假；
对于③，根据面面垂直的性质定理可判断此命题的真假；
对于④，根据射影长性质及三角形外心的定义可判断此命题的真假；
对于⑤，根据线面垂直的性质定理可判断此命题的真假．
解答：
解：在命题①中，设两个平面α，β互相垂直，对于α内的两条平行直线a，b，在β内的射影是两条重合的直线（即α，β的交线），故①错．
在命题②中，由平面α内任意一条直线m∥平面β，知α内的两条相交直线平行于平面β，所以α∥β，故②正确．
在命题③中，由面面垂直的性质定理知，缺少条件“α⊥β”，故③错．
在命题④中，设点P在△ABC内的射影为O，由PA=PB=PC知，A0=B0=C0，即点O是△ABC的外心，故④正确．
在命题⑤中，根据“若一个平面（β）经过另一个平面（α）的一条垂线（m），则这两个平面互相垂直（β⊥α）”知，⑤正确．
故答案为：②④⑤．
在命题②中，由平面α内任意一条直线m∥平面β，知α内的两条相交直线平行于平面β，所以α∥β，故②正确．
在命题③中，由面面垂直的性质定理知，缺少条件“α⊥β”，故③错．
在命题④中，设点P在△ABC内的射影为O，由PA=PB=PC知，A0=B0=C0，即点O是△ABC的外心，故④正确．
在命题⑤中，根据“若一个平面（β）经过另一个平面（α）的一条垂线（m），则这两个平面互相垂直（β⊥α）”知，⑤正确．
故答案为：②④⑤．
点评：本题考查了射影的定义及射影长性质，面面平行的判定，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理等，考查逻辑推理能力与空间想象能力，关键是牢记定理成立的条件，并会画图，举出反例．
练习册系列答案
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由6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）
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