Question

数列{a_n}的前n项的和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n，数列{b_n}中，b₁=0，且b_n+1-b_n=2n，C_n=

bn

n•an

．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）证明：数列{C_n}的前n的和S_n满足0≤S_n＜

9

8

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的定义可知数列{a_n}是等比数列，即可求得a_n，由累加法可求得b_n；
（2）利用错位相减法求和即可得证．

解答： 解：（1）a_n+1=2S_n①
n≥2时，a_n=2s_n-1②
①-②得，a_n+1-a_n=2a_n，即

an+1

an

=3，
∴数列{a_n}是首项为1，公比是3的等比数列，
∴a_n=3^n-1，
∵b_n+1-b_n=2n，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=0+2+4+6+…+2（n-1）=

n(2n-1)

2

=n（n-1）．
（2）C_n=

bn

n•an

=

n-1

3n-1

，
∴s_n=

0

30

+

1

31

+

2

32

+…+

n-1

3n-1

，

1

3

s_n=

0

31

+

1

32

+…+

n-2

3n-1

+

n-1

3n

，
两式作差得

2

3

sn=

1

31

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

n-1

3n

=

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n-1

3n

=

1

2

（1-

1

3n-1

）-

n-1

3n

，
∴s_n=

3

4

-

2n+1

4•3n-1

．
∴0≤S_n＜

9

8

．

点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，考查错位相减求和及考查学生的运算求解能力，属于中档题．