Question

19．将函数f（x）=xsinx，当${x_1}，{x_2}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$时，f（x₁）＞f（x₂）成立，下列结论正确的是（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＞|x₂|
• C． x₁＜x₂
• D． x${\;}_{1}^{2}$＞x${\;}_{2}^{2}$

Answer 1

分析 由于f（-x）=f（x），故函数f（x）=xsinx为偶函数，则f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|），f′（x）=sinx+xcosx，当x＞0时，f′（x）＞0，从而可得答案．

解答 解：∵f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），
∴函数f（x）=xsinx为偶函数，
∴f（-x）=f（|x|）；
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当$\frac{π}{2}$＞x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增．
∵f（x₁）＞f（x₂），结合偶函数的性质
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴|x₁|＞|x₂|，
∴x₁²＞x₂²，
故选：D．

点评 本题考查函数f（x）=xsinx的奇偶性与单调性，得到f（x）为偶函数，在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增是关键，考查分析转化能力，属于中档题．