Question

8．在△ABC中，AD是角A的平分线．
（1）用正弦定理或余弦定理证明：$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}$；
（2）已知AB=2．BC=4，$cosB=\frac{1}{4}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得：$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{BA}{sin∠BDA}$，$\frac{DC}{sin∠DAC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，由sin∠BAD=sin∠DAC，结合∠BDA+∠ADC=π，可得sin∠BDA=sin∠ADC，即可得证$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}$．
（2）由已知及余弦定理可求AC的值，由（1）及BD+DC=BC=4，可求BD的值，进而利用余弦定理可求AD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）证明：在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{BA}{sin∠BDA}$．…（2分）
在△ADC中，由正弦定理得：$\frac{DC}{sin∠DAC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$．…（4分）
∵∠BAD=∠DAC，
∴sin∠BAD=sin∠DAC，
又∵∠BDA+∠ADC=π，
∴sin∠BDA=sin∠ADC，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}$．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=2²+4²-2×$2×4×\frac{1}{4}$=16．
∴AC=4．…（8分）
由（1）知，$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=$\frac{4}{3}$．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（$\frac{4}{3}$）²-2×$2×\frac{4}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{40}{9}$．
∴AD=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．