Question

8．已知函数y=Asin（ωx+ϕ）其中$A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}$，若函数的最小正周期为π，最大值为2，且过（0，1）点，
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数的周期，最值过定点，求出A，ω和φ的值即可，
（2）结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数的最小正周期为π，最大值为2，
∴A=2，T=$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，
则函数y=2sin（2x+φ），
∵函数过（0，1）点，
∴2sinφ=1，即sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
则$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调递减区间为为$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．