题目内容
我国高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A，B两城市之间开通高速列车，假设列车在试运行期间，每天在8：00～9：00，9：00～10：00两个时间段内各发一趟由A城开往B城的列车（两车发车情况互不影响），A城发车时间及概率如下表所示：
若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，他们到达A城火车站的时间分别是周六的8：00和周日的8：20．（只考虑候车时间，不考虑其他因素）
（1）求甲、乙两人候车时间相等的概率；
（2）设乙候车所需时间为随机变量X，求ξ的分布列和数学期望E（X）．
| 发车时间 | 8：10 | 8：30 | 8：50 | 9：10 | 9：30 | 9：50 | ||||||||||||
| 概率 |
|
|
|
|
|
|
（1）求甲、乙两人候车时间相等的概率；
（2）设乙候车所需时间为随机变量X，求ξ的分布列和数学期望E（X）．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（1）甲的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为p1(10)=
，p1(30)=
，p1(50)=
．乙的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为p2(10)=
，p2(30)=
，p2(50)=
×
=
．由此能求出甲、乙两人候车时间相等的概率．
（2）X的所有可能取值为10，30，50，70，90分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 36 |
（2）X的所有可能取值为10，30，50，70，90分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答：
解：（1）甲的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为：
p1(10)=
，p1(30)=
，p1(50)=
．
乙的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为：
p2(10)=
，p2(30)=
，p2(50)=
×
=
．
∴甲、乙两人候车时间相等的概率P=
×
+
×
+
×
=
．（6分）
（2）X的所有可能取值为10，30，50，70，90（单位：分钟），
∴X的分布列为：
E（X）=10×
+30×
+70×
+90×
=
．
p1(10)=
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
乙的候车时间分别是10分钟、30分钟、50分钟的概率为：
p2(10)=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 36 |
∴甲、乙两人候车时间相等的概率P=
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 36 |
| 17 |
| 72 |
（2）X的所有可能取值为10，30，50，70，90（单位：分钟），
∴X的分布列为：
| X | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 18 |
| 1 |
| 12 |
| 280 |
| 9 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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