Question

在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为x_n，该年的增长量y_n和x_n与1-

xn

m

的乘积成正比，比例系数为λ（0＜λ＜1），其中m是与n无关的常数，且x₁＜m，
（1）证明：y_n≤

λm

4

；
（2）用x_n表示x_n+1，并证明草原上的野兔总数量恒小于m．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意列出关系式，通过平方利用恶心还是的最大值，证明：y_n≤

λm

4

；
（2）用x_n表示x_n+1，利用数学归纳法的证明步骤证明草原上的野兔总数量恒小于m．

解答： 解：（1）由题意知γn=λxn(1-

xn

m

)，配方得：γn=-

λ

m

(xn-

m

2

)2+

λm

4

，
∵-

λ

m

＜0，
∴当且仅当xn=

m

2

时，γ_n取得最大值

λm

4

，即γ≤

λm

4

（5分）
（2）xn+1=xn+λ(1-

xn

m

)xn（8分）
用数列归纳法证明：
当n=1时，由题意知x₁＜m，故命题成立
假设当n=k时，命题成立．xk+1=-

λ

m

x

2 k

+(λ+1)xk是x_k的一个二次函数，f(x)=-

λ

m

x2+(λ+1)x，
f（x）有对称轴x=

λ+1

2λ

m，开口向下，
由λ＜1，则

λ+1

2λ

m＞

λ+λ

2λ

m=m，于是在（-∞，m）上均有f（x）＜f（m）=m
取x=x_k，即知x_k+1＜m∴当n=k+1时，命题成立，
综上知，对一切正整数n，x_n＜m这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长        （13分）

点评：本题考查数列与函数相结合问题，数学归纳法的应用，考查计算能力．