Question

14．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为1，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为（　　）

• A． （2，2$\sqrt{2}$）
• B． （4，4）
• C． （4，±4）
• D． （2，±2$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 设A（$\frac{1}{4}$t²，t），根据抛物线的定义算出|AM|=$\frac{1}{4}$t²+1，而△AMF与△AOF的高相等，故面积比等于|AM|：|OF|=3，由此建立关于t的方程，解之得t=$±2\sqrt{2}$，即可得到点A的坐标．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
准线l方程为x=-1．设A（$\frac{1}{4}$t²，t），则
根据抛物线的定义，得|AM|=$\frac{1}{4}$t²+1，
∵△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，
∴|AM|：|OF|=$\frac{1}{4}$t²+1=3，可得t²=8，解之得t=$±2\sqrt{2}$
∴点A的坐标为（2，$±2\sqrt{2}$）．
故选D．

点评 本题给出抛物线中的三角形面积比，求点的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于中档题．