Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）的直线m与C交于A、B两点，若A是PB的中点，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：c=1，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）由设其方程为y=kx+3，A是PB的中点，x₁=$\frac{{x}_{2}}{2}$，①y₁=$\frac{{y}_{2}+3}{2}$，②代入椭圆方程，即可求得B点坐标，求得直线m的斜率为-$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$，求得直线m的方程，直线m的斜率不存在，则可得A点的坐标为（0，$\sqrt{3}$），B点的坐标为（0，-$\sqrt{3}$），显然不存在．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，右焦点为（1，0），则c=1，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（4分）
（2）若直线m的斜率存在，设其方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A是PB的中点，x₁=$\frac{{x}_{2}}{2}$，①y₁=$\frac{{y}_{2}+3}{2}$，②
又，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$③
$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$，④…（7分）
联立①，②，③，④解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
即点B的坐标为（2，0）或（-2，0），
∴直线m的斜率为-$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$，
则直线m的方程为y=-$\frac{3}{2}$x+3或y=$\frac{3}{2}$x+3．…（10分）
若直线m的斜率不存在，则可得A点的坐标为（0，$\sqrt{3}$），B点的坐标为（0，-$\sqrt{3}$），
显然不满足条件，故此时方程不存在．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，考查韦达定理，中点坐标公式的应用，属于中档题．