Question

5．$\int_{\;-2}^{\;2}{（\sqrt{4-{x^2}}-{x^{2017}}}）dx$=2π．

Answer 1

分析 令x=2sinu，则$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosu，dx=2cosudu，从而$\int_{\;-2}^{\;2}{（\sqrt{4-{x^2}}-{x^{2017}}}）dx$=${∫}_{0}^{π}4co{s}^{2}udu$-${∫}_{-2}^{2}{x}^{2017}dx$，由此能求出结果．

解答 解：令x=2sinu，则$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosu，dx=2cosudu
∴$\int_{\;-2}^{\;2}{（\sqrt{4-{x^2}}-{x^{2017}}}）dx$=${∫}_{0}^{π}4co{s}^{2}udu$-${∫}_{-2}^{2}{x}^{2017}dx$
=2${∫}_{0}^{π}（1+cos2u）du$-（$\frac{1}{2018}{x}^{2018}$）${|}_{-2}^{2}$
=（2u+sin2u ）${|}_{0}^{π}$-[$\frac{1}{2018}×{2}^{2018}$-$\frac{1}{2018}×（-2）^{2018}$]
=（2π+sin2π）-（2×0+sin0）=2π．
故答案为：2π．

点评 本题考查定积分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．