Question

6．己知双曲线E的中心在原点，F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（9，$\frac{9}{2}$），则E的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为（9，$\frac{9}{2}$），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．

解答 解：由题意，不妨设双曲线的方程为E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∵F（5，0）是E的焦点，∴c=5，∴a²+b²=25．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则有：x₁+x₂=18，y₁+y₂=9，
A，B代入相减可得AB的斜率$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵AB的斜率是$\frac{\frac{9}{2}-0}{9-5}$=$\frac{9}{8}$
∴$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{8}$，即16b²=9a²
将16b²=9a²代入a²+b²=25，可得a²=16，b²=9，
∴双曲线标准方程是$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
故选D．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查点差法解决弦的中点问题，考查学生的计算能力，解题的关键是利用点差法求出直线AB的斜率．