Question

6．已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N⁺），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄-2a₁，S₁₁=11b₄．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_2nb_2n-1}的前n项和（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．
由已知b₂+b₃=12，得b₁（q+q²）=12，而b₁=2，所以q+q²-6=0．
又因为q＞0，解得q=2．所以，b_n=2ⁿ．
由b₃=a₄-2a₁，可得3d-a₁=8①．
由S₁₁=11b₄，可得a₁+5d=16②，
联立①②，解得a₁=1，d=3，由此可得a_n=3n-2．
所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ．
（II）设数列{a_2nb_2n-1}的前n项和为T_n，
由a_2n=6n-2，b_2n-1=$\frac{1}{2}×$4ⁿ，有a_2nb_2n-1=（3n-1）4ⁿ，
故T_n=2×4+5×4²+8×4³+…+（3n-1）4ⁿ，
4T_n=2×4²+5×4³+8×4⁴+…+（3n-1）4ⁿ⁺¹，
上述两式相减，得-3T_n=2×4+3×4²+3×4³+…+3×4ⁿ-（3n-1）4ⁿ⁺¹
=$\frac{12×（1-{4}^{n}）}{1-4}-4-（3n-1）{4}^{n+1}$=-（3n-2）4ⁿ⁺¹-8
得T_n=$\frac{3n-2}{3}×{4}^{n+1}+\frac{8}{3}$．
所以，数列{a_2nb_2n-1}的前n项和为$\frac{3n-2}{3}×{4}^{n+1}+\frac{8}{3}$．

点评 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．