Question

1．在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），且$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$=-4，则λ的值为$\frac{3}{11}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形，利用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，
再根据平面向量的数量积$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$列出方程求出λ的值．

解答 解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
又$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$）•（λ$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（$\frac{1}{3}$λ-$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{2}{3}$λ${\overrightarrow{AC}}^{2}$
=（$\frac{1}{3}$λ-$\frac{2}{3}$）×3×2×cos60°-$\frac{1}{3}$×3²+$\frac{2}{3}$λ×2²=-4，
∴$\frac{11}{3}$λ=1，
解得λ=$\frac{3}{11}$．
故答案为：$\frac{3}{11}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．