Question

14．已知函数f（x）=x³+ax²+b的图象上一点P（1，0），且在P点处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）在（1）的结论下，关于x的方程f（x）=c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c
的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义求出a，根据函数过（1，0）点，求出b，即可求出函数f（x）的解析式；
（2）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）因为f′（x）=3x²+2ax，曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）=3+2a，
即3+2a=-3，
所以a=-3；
又因为函数过（1，0）点，
即-2+b=0，
所以b=2，
所以f（x）=x³-3x²+2
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，可得x=0或x=2，
①当0＜t≤2时，在区间（0，t）上f′（x）＜0，
可得f（x）在[0，t]上是减函数，
所以f（x）_max=f（0）=2，
f（x）_min=f（t）=t³-3t²+2；
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况见下表：

x	0	（0，2）	2	（2，t）	t
f′（x）	0	-	0	+	+
f（x）	2	递减	-2	递增	t3-3t2+2

f（x）_min=f（2）=-2，
f（x）_max为f（0）与f（t）中较大的一个，
f（t）-f（0）=t³-3t²=t²（t-3）＜0，
所以f（x）_max=f（0）=2，
综上，函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值是2，最小值是-2．
（3）令g（x）=f（x）-c=x³-3x²+2-c，g′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
在x∈上，g′（x）＞0．要使g（x）=0在上恰有两个相异的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}g（1）≥0\\ g（2）＜0\\ g（3）≥0\end{array}\right.$，解得-2＜c≤0．

点评 本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．