Question

18．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

	连续剧播放时长（分钟）	广告播放时长（分钟）	收视人次（万）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 （Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为$\left\{\begin{array}{l}70x+60y≤600\\ 5x+5y≥30\\ x≤2y\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}7x+6y≤60\\ x+y≥6\\ x-2y≤0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：

（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为$y=-\frac{12}{5}x+\frac{z}{25}$，这是斜率为$-\frac{12}{5}$，随z变化的一族平行直线．
$\frac{z}{25}$为直线在y轴上的截距，当$\frac{z}{25}$取得最大值时，z的值最大．
又∵x，y满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距$\frac{z}{25}$最大，即z最大．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}7x+6y=60\\ x-2y=0\end{array}\right.$，得点M的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．

点评 本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．