Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{5}$，且当n＞1，n∈N^*时，有a_n-1-a_n-4a_n-1•a_n=0．
（1）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，设数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：${S_n}＜\frac{1}{20}$．

Answer 1

分析 （1）通过将a_n-1-a_n=4a_n-1•a_n两边同时除以a_n-1•a_n、进而可知数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首项为5、公差为4的等差数列，利用等差数列的通项公式计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$），进而并项相加放缩可得结论．

解答 证明：（1）因为a_n-1-a_n-4a_n-1•a_n=0，
所以a_n-1-a_n=4a_n-1•a_n，
两边同时除以a_n-1•a_n得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4，
又因为$\frac{1}{{a}_{1}}$=5，
所以数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首项为5、公差为4的等差数列，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}$=5+4（n-1）=4n+1，
所以a_n=$\frac{1}{4n+1}$；
（2）由（1）可知b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{4n+1}$•$\frac{1}{4n+5}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$），
所以S_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+5}$）=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{4n+5}$）＜$\frac{1}{20}$，
即${S_n}＜\frac{1}{20}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．