Question

13．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-（{2a+1}）x+2lnx（{x∈R}）$
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1），f′（3）的值，由f′（1）=f′（3）列式求得a值；
（Ⅱ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$（x＞0）．然后对a分类讨论求得函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$，
f′（1）=-a+1，f′（3）=a-$\frac{1}{3}$，
由f′（1）=f′（3），得-a+1=a-$\frac{1}{3}$，
解得a=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$（x＞0）．
若a=0，f′（x）=$\frac{-x+2}{x}$．
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的增区间为（0，2），减区间为（2，+∞）．
令g（x）=ax²-（2a+1）x+2．
若0＜a$＜\frac{1}{2}$，方程ax²-（2a+1）x+2=0的两根为x₁=2，${x}_{2}=\frac{1}{a}$，且2＜$\frac{1}{a}$．
当x∈（0，2）∪（$\frac{1}{a}$，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（2，$\frac{1}{a}$）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，2），（$\frac{1}{a}$，+∞）；单调减区间为（2，$\frac{1}{a}$）．
若a=$\frac{1}{2}$，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
若a＞$\frac{1}{2}$，方程ax²-（2a+1）x+2=0的两根为${x}_{1}=\frac{1}{a}$，x₂=2，且$\frac{1}{a}$＜2．
当x∈（0，$\frac{1}{a}$）∪（2，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（$\frac{1}{a}$，2）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）；单调减区间为（$\frac{1}{a}$，2）．
若a＜0，程ax²-（2a+1）x+2=0的两根为${x}_{1}=\frac{1}{a}$，x₂=2，且$\frac{1}{a}$＜0．
当x∈（0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（0，2）；单调减区间为（2，+∞）．
综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，2）；单调减区间为（2，+∞）．
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）的单调增区间为（0，2），（$\frac{1}{a}$，+∞）；单调减区间为（2，$\frac{1}{a}$）．
当a=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
当a$＞\frac{1}{2}$时，f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）；单调减区间为（$\frac{1}{a}$，2）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．