Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A．
（1）求A的大小；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，求b+2c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos²A+3cosA-2=0，进而解得cosA的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）法一：由余弦定理，可得：b²+c²-bc=12，结合基本不等式可求$\frac{3}{28}$（b+2c）²≤12，进而得解b+2c 的最大值．
法二：设△ABC 的外接圆半径为R，则由正弦定理得：$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=4$，利用三角函数恒等变换的应用可得b+2c=$4\sqrt{7}sin（A+φ）（0＜φ＜\frac{π}{2}，tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，利用正弦函数的性质可求最大值．

解答 解：（1）由于3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A，
则3（cosBcosC-sinBsinC）=cos2A-1，
从而3cos（B+C）=2cos²A-2，
故2cos²A+3cosA-2=0．
即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
故$cosA=\frac{1}{2}$ 或cosA=-2 （舍去），
由于A∈（0，π），
从而$A=\frac{π}{3}$．
（2）法一：由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，
可得：b²+c²-bc=12，
可得：（b+2c）²-12=3c²+5bc=$\frac{1}{7}$×7c（3c+5b）≤$\frac{1}{7}$×$\frac{（5b+10c）^{2}}{4}$=$\frac{25}{28}$（b+2c）²，
可得：$\frac{3}{28}$（b+2c）²≤12，即：b+2c$≤4\sqrt{7}$．
当且仅当4c=5b 取等号，从而b+2c 的最大值为$4\sqrt{7}$．
法二：设△ABC 的外接圆半径为R，则由正弦定理得：$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=4$，
从而$b+2c=2R（sinA+2sinC）=4sinA+8sin（\frac{2π}{3}-A）=4sinA+8（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）$
=$8sinA+4\sqrt{3}cosA=4（2sinA+\sqrt{3}cosA）=4\sqrt{7}（sinA•\frac{2}{{\sqrt{7}}}+cosA•\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}）$
=$4\sqrt{7}sin（A+φ）（0＜φ＜\frac{π}{2}，tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
故b+2c的最大值为$4\sqrt{7}$，当且仅当$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$取等号，从而b+2c的最大值为$4\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．