11．如图.AB为⊙O的弦.D为AB上一点.且OD⊥OB.直线l⊥OA.且直线l与OA的延长线交于点A′.与BA的延长线交于点E.与OD的延长线交于点C′．(1)在图中找出与C′D相等的线段.并说明理——青夏教育精英家教网——

如图，AB为⊙O的弦，D为AB上一点，且OD⊥OB，直线l⊥OA，且直线l与OA的延长线交于点A′，与BA的延长线交于点E，与OD的延长线交于点C′．
（1）在图中找出与C′D相等的线段，并说明理由；
（2）若A′C′=9cm，OA′=12cm，⊙O的半径为6cm，求线段OD的长．

如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，点G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．若E是AF的中点，则BF的长为$\sqrt{5}$．

学了三角形全等的知识后，老师提出了一个问题．如图所示，点E、F在线段BD上，线段AC与BD互相平分，且BE=DF．那么△AOE和△COF全等吗？△AOB和△COD全等吗？请说明理由．
（1）请你解决老师提出的问题；
（2）请猜想AB与CD的数量关系和位置关系，并说明理由．

如图所示，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE延长线于G，GF与AC于M，求证：BG=AF+FG．

已知，如图△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，若BD=CD，求证：BF=AC．

已知二次函数y=x²-4x+3，设该抛物线与y轴交于点C，抛物线顶点为D，点P是x轴上的点，且满足PC+PD最短．
（1）分别求C、D、P的坐标．
（2）设点E时抛物线上的点，且△PDE是以PD为底边的等腰三角形，请在备用图中画出你找到的点E示意图．并用文字简要说明点E的具体位置．（不必求出点E坐标）
（3）设点Q时抛物线上的点，当△PQC是以线段CP为直角边的Rt△时，求出Q点的坐标．

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C（0，2$\sqrt{3}$），⊙P经过点A、B、C三点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求圆心P的坐标；
（3）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点Q，使得以P、Q、A、B四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由．

4．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标；
（2）若在该抛物线的对称轴l上存在一点M，使MB+MC的值最小，求点M的坐标以及MB+MC的最小值；
（3）若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点，且纵坐标分别为m，m+2，当四边形CBQP周长最小时，求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值．

如图，抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x²-4x+3=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（3，0）；
（2）此抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，顶点M的坐标是（1，4）；
（3）若直线y=kx（0＜k＜2）与抛物线y=ax²+bx+c相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．当k为何值时？四边形PCMB的面积最小，最小值是多少？
（4）在（3）的条件下，若Q是抛物线上AM间的一个动点，则当点Q的坐标是多少时，五边形AOEMQ的面积最大？

2．已知二次函数y=ax²-3ax-4a的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C（如图1），$tan∠ACO=\frac{1}{2}$．

（1）求此二次函数的解析式；
（2）P（-3，0）为x轴上一点，在抛物线第一象限的图象上是否存在一点Q，连PQ交AC于点D，使得∠PDA=45°？（如图2）若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线作适当平移，使新抛物线的顶点D在射线AC上，且新抛物线与直线BC交于点M、N，（如图3）问是否存在这样的抛物线，使得$\frac{{{S_{△DMC}}}}{{{S_{△DNC}}}}=\frac{1}{4}$？若存在，请求新抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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