Question

5．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C（0，2$\sqrt{3}$），⊙P经过点A、B、C三点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求圆心P的坐标；
（3）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点Q，使得以P、Q、A、B四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（6，0）和点B（2，0），首先设二次函数的表达式为：y=a（x-6）（x-2），然后将点C（0，2$\sqrt{3}$）代入，即可求得二次函数的表达式；
（2）首先过点P作PD⊥x轴于点D，由垂径定理即可求得点P的横坐标，然后设点P的坐标为（4，y），由PB=PC，可得方程4²+（y-2$\sqrt{3}$）²=2²+y²，解此方程即可求得答案；
（3）首先过点P作PQ∥x轴，交二次函数在第一象限内的图象上点Q，即可求得点Q的坐标，证得PQ=AB，可得四边形ABPQ是平行四边形，又由PB=AB=4，证得四边形ABPQ是菱形．

解答 解：（1）设二次函数的表达式为：y=a（x-6）（x-2），
∵二次函数与y轴交于点C（0，2$\sqrt{3}$），
∴12a=2$\sqrt{3}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-6）（x-2）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$；

（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，
∴AD=BD，
∵点A（6，0）和点B（2，0），
∴AB=6-2=4，
∴BD=AD=2，
∴OD=OB+BD=4，
设点P的坐标为（4，y），
∵⊙P经过点A、B、C三点，C（0，2$\sqrt{3}$），
∴PC=PB，
∴4²+（y-2$\sqrt{3}$）²=2²+y²，
解得：y=2$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为：（4，2$\sqrt{3}$）；

（3）存在．
如图2，过点P作PQ∥x轴，交二次函数在第一象限内的图象上点Q，
则此时Q的纵坐标为2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
解得：x=8，
∴点Q的坐标为：（8，2$\sqrt{3}$），
且PQ=AB=4，
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∵PB=AB=4，
∴四边形ABPQ是菱形．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、垂径定理、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定等知识．注意准确作出辅助线，利用方程思想求解是解此题的关键．