Question

9．学了三角形全等的知识后，老师提出了一个问题．如图所示，点E、F在线段BD上，线段AC与BD互相平分，且BE=DF．那么△AOE和△COF全等吗？△AOB和△COD全等吗？请说明理由．
（1）请你解决老师提出的问题；
（2）请猜想AB与CD的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由线段AC与BD互相平分知AO=CO、BO=DO，根据SAS可得△AOB与△COD全等；根据线段的和差，可得OE与OF的关系，根据SAS可得△AOE和△COF全等；
（2）根据△AOB与△COD全等知AB=CD、∠B=∠D，进而AB∥CD．

解答 证明：（1）∵线段AC与BD互相平分，
∴AO=CO，BO=DO．
在△AOB与△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{∠AOB=∠COD}\\{BO=DO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∵BE=DF，BO=DO，
∴EO=FO．
在△AEO和△CFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\\{EO=FO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（SAS）；
（2）AB=CD，且AB∥CD，
∵△AOB≌△COD，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∴AB∥CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练利用全等三角形的判定与性质、平行线的判定是基础．