Question

10．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，点G是BC上的一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．若E是AF的中点，则BF的长为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，根据垂直的定义推出∠ADE=∠BAF，根据平行线的性质和等量代换得到∠AFB=∠DEG=∠AED．证得△ABF≌△DAE，根据全等三角形的性质得到BF=AE，根据平行线的性质得到∠AFB=90°，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DEM=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED，
在△ABF与△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AED}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，
∵BF∥DE，∠AED=90°
∴∠AFB=90°，
∵E是AF的中点，
∴AE=EF，
又∵BF=AE，
∴BF=EF=AE，
设BF为x，则AF为2x，
∵AB²=AF²+BF²，
∴5²=（2x）²+x²，
解得x=±$\sqrt{5}$（舍去-$\sqrt{5}$），
∴BF=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各种有关性质．