Question

11．如图，AB为⊙O的弦，D为AB上一点，且OD⊥OB，直线l⊥OA，且直线l与OA的延长线交于点A′，与BA的延长线交于点E，与OD的延长线交于点C′．
（1）在图中找出与C′D相等的线段，并说明理由；
（2）若A′C′=9cm，OA′=12cm，⊙O的半径为6cm，求线段OD的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和角的互余关系得出∠AEA′=∠EDC′，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出OC′，证出OA=OB=AA′，由AAS证明△AEA’≌△ODB，由对应边相等得出A′E=OD，得出关系式，即可得出结果．

解答 解：①C′D=C′E，理由如下：
∵直线l⊥OA，且直线l与OA的延长线交于点A′，
∴∠OA′C′=90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠AEA′+∠E AA′=∠OBA+∠ODB=90°，
∠ODB=∠EDC′，∠OAB=∠E AA′，
∴∠AEA′=∠EDC′，
∴C′D=C′E；

（2）在Rt△OA′C′中，A′C′=9cm，OA′=12cm，
∴OC′²=A′C′+OA′=9²+12²=225，
∴OC′=15，
∵OA=6cm，
∴AA′=6cm，
∴OA=OB=AA′，
在△AEA′与△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AA′E=∠DOB=90°}\\{∠OBA=∠EAA′}\\{OB=AA′}\end{array}\right.$，
∴△AEA’≌△ODB（AAS），
∴A′E=OD，
∵C′D=C′E，
∴9+A′E=15-OD
∴9+OD=15-OD，
∴OD=3．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．