Question

2．已知二次函数y=ax²-3ax-4a的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C（如图1），$tan∠ACO=\frac{1}{2}$．

（1）求此二次函数的解析式；
（2）P（-3，0）为x轴上一点，在抛物线第一象限的图象上是否存在一点Q，连PQ交AC于点D，使得∠PDA=45°？（如图2）若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线作适当平移，使新抛物线的顶点D在射线AC上，且新抛物线与直线BC交于点M、N，（如图3）问是否存在这样的抛物线，使得$\frac{{{S_{△DMC}}}}{{{S_{△DNC}}}}=\frac{1}{4}$？若存在，请求新抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出点A、B坐标，再由tan∠ACO=$\frac{1}{2}$求出点C坐标即可求出a．
（2）构造等腰直角三角形△PEF，由AC∥EF得到∠PDA=∠PEF=45°，即可解决问题．
（3）可以设M、N的横坐标分别为-t，4t，由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}（x-m）^{2}+2m+2}\end{array}\right.$消去y得到：x²-（2m+1）x+m²-4m=0，再利用根与系数的关系求出m．

解答 解：（1）令y=O得ax²-3ax-4a=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
∵tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴CO=2，
∴-4a=2，
a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）存在．理由如下：
在图1中，取点E（0，1），F（-2，-3），作直线PE交AC于D，交抛物线于Q，作FH⊥PO垂足为H．
在△POE和△FHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PO=HF}\\{∠POE=∠PHF}\\{EO=PH}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△FHP，
∴PE=PF，∠EPO=∠PFH，
∵∠PFH+∠FPH=90°，
∴∠EPO+∠FPH=90°，
∴∠EPF=90°，∠PEF=∠PF=45°，
设直线EF的解析式为y=kx+b，E、F的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=-3}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线EF为y=2x+1，
设直线AC为y=k′x+b′，A、C的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{b′=2}\\{-k′+b′=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k′=2}\\{b′=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC为y=2x+2，
∴AC∥EF，
∴∠PDA=∠PEF=45°，
∴直线PQ满足条件，设直线PQ为y=k″x+b″，P、E坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{b″=1}\\{-3k″+b″=0}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{k″=\frac{1}{3}}\\{b″=1}\end{array}\right.$，
∴直线PQ为y=$\frac{1}{3}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+1}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{7}{9}}\end{array}\right.$，
∴点Q（3，2）．
（3）存在．理由如下：
∵抛物线的顶点在直线AC上，
∴可以设新抛物线为y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+2m+2，
∵$\frac{{S}_{△DMC}}{{S}_{△DNC}}=\frac{1}{4}$，可以设M、N的横坐标分别为-t，4t，
易知直线BC为y=-$\frac{1}{2}x$+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}（x-m）^{2}+2m+2}\end{array}\right.$消去y得到：x²-（2m+1）x+m²-4m=0，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{-t+4t=2m+1}\\{-t•4t={m}^{2}-4m}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{5}$．
∴新抛物线为y=-$\frac{1}{2}（x-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{14}{5}$．

点评 本题考查二次函数的图象问题、全等三角形的判定和性质、根与系数关系等知识，构造等腰直角三角形创造45°是解题的关键，本题综合性强，需要灵活运用方程与函数的关系解决问题．