Question

6．已知二次函数y=x²-4x+3，设该抛物线与y轴交于点C，抛物线顶点为D，点P是x轴上的点，且满足PC+PD最短．
（1）分别求C、D、P的坐标．
（2）设点E时抛物线上的 点，且△PDE是以PD为底边的等腰三角形，请在备用图中画出你找到的点E示意图．并用文字简要说明点E的具体位置．（不必求出点E坐标）
（3）设点Q时抛物线上的点，当△PQC是以线段CP为直角边的Rt△时，求出Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据配方法，可得D点坐标，根据待定系数法，可得CD的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线短两端点的距离相等，可得E点的位置；
（3）根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）如图1，
连接CD交x轴于P点，
当x=0时，y=3，即C点坐标为（0，3），
配方，得y=（x-2）²-1，即D点坐标为（2，-1），
设CD的解析式为y=kx+b，将C、D点坐标代入，的
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
CD的解析此时为y=-2x+3，
当y=0时，x=$\frac{3}{2}$，即P（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）如图2，
作PD的垂直平分线交抛物线E₁，E₂，△PDE₁，△PDE₂是以PD为底边的等腰三角形；
（3）如图3，
Q在抛物线上，设Q点坐标为（m，m²-4m+3）．
由勾股定理，得
CP²=（$\frac{3}{2}$）²+3²=$\frac{45}{4}$，PQ²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（m²-4m+3）²，CQ²=m²+（m²-4m+3-3）²．
由∠CPQ=90°，得
CP²+PQ²=CQ²，即$\frac{45}{4}$+（m-$\frac{3}{2}$）²+（m²-4m+3）²=m²+（m²-4m+3-3）²．
化简，得
8m²-36m+30=0．
解得m₁=$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，m₂=$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，
当m₁=$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$时，m²-4m+3=$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$，即Q₁（$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$）；
当=$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$时，m²-4m+3=$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$，即Q₂（$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$）；
综上所述：当△PQC是以线段CP为直角边的Rt△时，Q点的坐标（$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$）；（$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系求点的坐标；利用线段垂直平分的性质得出PD垂直平分线与抛物线的交点是解题关键；利用勾股定理得出关于关于m的方程是解题关键．