题目内容
3．
如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-4x+3=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．（1）点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（3，0）；
（2）此抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，顶点M的坐标是（1，4）；
（3）若直线y=kx（0＜k＜2）与抛物线y=ax2+bx+c相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．当k为何值时？四边形PCMB的面积最小，最小值是多少？
（4）在（3）的条件下，若Q是抛物线上AM间的一个动点，则当点Q的坐标是多少时，五边形AOEMQ的面积最大？
分析 （1）由线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-4x+3=0的两个根，可求得OA，OC的长，即可求得点A与点C坐标，又由抛物线的对称轴是直线x=1，根据对称性，可求得点B的坐标；
（2）首先设抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3），然后将C（0，3）代入，即可求得答案；
（3）首先设D的坐标为（x1，y1），E的坐标为（x2，y2），由直线y=kx（0＜k＜2）与抛物线y=ax2+bx+c相交于两点D、E，可得x2+（k-2）x-3=0，则可求得P的横坐标为：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{k-2}{2}$=$\frac{2-k}{2}$，继而表示出点P的坐标，然后由S四边形PCMB=S梯形OCMF+S△BMF-S△OBP-S△OCP，求得答案；
（4）由S五边形AOEMQ=S四边形AOEM+S△AMQ，且S四边形AOEM是定值，可得当△AMQ的面积最大时，五边形AOEMQ的面积最大；然后求当点Q的坐标是多少时，△AMQ的面积最大即可．
解答 解：（1）∵x2-4x+3=0，
∴（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴OA=1，OC=3，
∴点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，3），
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴点B坐标是（3，0）；
故答案为：（-1，0），（0，3），（3，0）；
（2）设抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3），
将（0，3）代入得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4；
∴顶点M的坐标是（1，4）；
故答案为：y=-x2+2x+3，（1，4）；
（3）∵直线y=kx（0＜k＜2）与抛物线y=ax2+bx+c相交于两点D、E，
设D的坐标为（x1，y1），E的坐标为（x2，y2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴x2+（k-2）x-3=0，
∵P是线段DE的中点，
∴P的横坐标为：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{k-2}{2}$=$\frac{2-k}{2}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{2-k}{2}$，$\frac{k（2-k）}{2}$），
如图1，过点M作MF⊥x轴于点F，
∴S四边形PCMB=S梯形OCMF+S△BMF-S△OBP-S△OCP=$\frac{1}{2}$×1×（3+4）+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{2-k}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{k（2-k）}{2}$=$\frac{3}{4}$（k-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{93}{16}$；
∴当k=$\frac{1}{2}$时，四边形PCMB的面积最小，最小值是$\frac{93}{16}$；
（4）如图2，设点Q的坐标为：（x，-x2+2x+3），
连接AM，过点Q作QG⊥x轴，交直线AM于点G，
∵S五边形AOEMQ=S四边形AOEM+S△AMQ，且S四边形AOEM是定值，
∴当△AMQ的面积最大时，五边形AOEMQ的面积最大；
设直线AM的解析式为：y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为：y=2x+2，
∴点G的坐标为：（x，2x+2），
∴S△AMQ=$\frac{1}{2}$×2×QG=QG=（-x2+2x+3）-（2x+2）=-x2+1，
∴当x=0时，△AMQ的面积最大，即五边形AOEMQ的面积最大，
此时点Q的坐标为（0，3）．
点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求二次函数解析式，一元二次方程的解法，二次函数的对称性，二次函数与一次函数的交点问题以及最值问题．注意掌握面积的割补求解方法是解此题的关键．
探究与巩固河南科学技术出版社系列答案| A． | $\sqrt{21}$ | B． | $\sqrt{0.1}$ | C． | $\sqrt{8}$ | D． | $\sqrt{\frac{1}{3}}$ |
①单项式3x的次数是0；
②单项式-πy的系数是-1；
③$\frac{1}{2}$，-2a都是单项式；
④m2-m2n+1是二次三项式；
⑤既不是单项式，又不是多项式的，一定也不是整式．
其中，不正确的有（ ）
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
| 购票人数 | 1-50 | 51-100 | 100人以上 |
| 每人门票价 | 12元 | 10元 | 8元 |
（1）两班各有学生多少人？
（2）若两班联合起来，作为一个团体购票，可以省钱多少元？
如图所示，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE延长线于G，GF与AC于M，求证：BG=AF+FG．
如图，已知AD=BC，AC=BD，求证：∠DAO=∠CBO．